中正则曲线的Frenet-Serret坐标系下的Smarandache划边曲面

摘要

本文根据曲线的Frenet-Serret框架，引入了Smarandache直纹曲面的原始定义．它涉及TN-Smarandache纹面，结核病-Smarandache规则表面，和NB-Smarandache统治了表面。我们研究了一些定理，这些定理给出了那些特殊的规则曲面是可展的和最小的充要条件。此外，我们还举例说明。

1.简介

在曲线曲面的微分几何中[1- - - - - -3.]，一个直纹曲面定义了一个直线族的集合，该集合取决于一个参数。上面提到的直线是被划面的划边。直纹曲面的一般参数表示为在哪里是一条曲线，所有的裁决都通过;它被称为曲面的基曲线;向量定义统治方向。

众所周知，直纹曲面在许多领域都有很大的应用价值，并在数学物理、运动学和计算机辅助几何设计(CAGD)等领域做出了贡献。

许多研究人员对直纹曲面进行了不同的研究。在[4]，构造了直纹曲面，直纹曲面的直纹是其基曲线各运动框架向量的常线性组合;他们研究了折线表面的特性，对其进行了表征，并在一般螺旋的情况下给出了例子和插图[5]和斜螺旋[6]作为基本曲线。在[7]，构造了规则曲面，其规则曲面是规则曲线达布坐标系向量在规则曲面上的常数线性组合．他们的兴趣点是对两个曲面(规则参考曲面和新构造的规则曲面)沿着它们的共同曲线进行比较研究。此外，他们还研究了所构造的条形表面的性质。此外，他们还举例说明。

可展性和极简性是表面的两个最重要的性质。

高斯曲率消失的直纹曲面，可以在不变形、不变形的情况下变换成平面，称为可展曲面;它们形成了一个相对较小的子集，包含圆柱、锥和切面[8- - - - - -10］．

最小曲面是局部使其面积最小的曲面。它是指一个表面积相对于具有相同边界的其他曲面最小的固定边界曲线。这相当于拥有零平均曲率[11- - - - - -13］．

在曲线理论中，Smarandache曲线是在Minkowski时空中首次被[14］．它是关于位置必威2490向量由另一条规则曲线上的Frenet-Serret坐标系向量组成的曲线。在[15- - - - - -17]，在欧几里得空间和Minkowski空间中，我们可以找到一些关于Smara必威2490ndache曲线的研究工作，这些研究工作是根据不同的框架，如Frenet-Serret框架、Bishop框架和Darboux框架。

这个作品的灵感来自于条形曲面和Smarandache曲线。我们渴望引入结合这两个重要概念的新定义，并研究它们的性质。我们也打开了机会，感知未来的工作是相对于微分几何，物理和医学科学的应用。

在本文中，我们感兴趣的是由Smarandache曲线根据Frenet-Serret框架生成的条形曲面。事实上，我们根据任意规则曲线的Frenet-Serret框架，构造并引入了由TN-Smarandache曲线、TB-Smarandache曲线和NB-Smarandache曲线生成的三种特殊规则曲面的原始定义．我们研究的定理，为我们提供了必要和充分条件，这三个规则曲面是可展开的和最小的。最后，我们举例说明。

2.预赛

在欧几里得三维空间中，我们考虑通常的度量 (在哪里）一个直角坐标系是什么．

一条曲线被认为是单位速度(或参数化的弧长)，如果对于任何．对于这样的曲线，有一个框架也就是Frenet-Serret坐标系，在哪里，，而且分别为曲线的单位正切、主法向量和副法向量。的Frenet-Serret公式是由在哪里曲率和扭转函数是它们由而且，分别为(2］．

定义1(见[18])。根据曲线的Frenet-Serret框架构造TN-Smarandache曲线是由

定义2(见[18])。根据曲线的Frenet-Serret框架构造TB-Smarandache曲线是由

定义3(见[18])。根据曲线的Frenet-Serret框架构造NB-Smarandache曲线是由让在表面上做一个条形．
表示为折线面上的法线单位在一个规则点上；我们有在哪里而且．

定义4(见[19])。分布参数直纹面是由

定义5(见[19])。当条形曲面的分布参数消失时，它是可展开的。
第一个我第二个2直纹面的基本形式在一个规则点上分别定义为在哪里，而且．

定义6。高斯曲率平均曲率直纹面在一个规则点上分别由

提案7(见[19])。当且仅当条形曲面的高斯曲率消失时，它是可展的。

第8项提案(见[19])。正则曲面是最小的，当且仅当它的平均曲率消失。

3.中正则曲线的Frenet-Serret坐标系下的Smarandache划边曲面

在第一步中，我们通过根据曲线的Frenet-Serret框架给出以下Smarandache规则曲面的新定义来开始我们的部分．

定义9。让是类可微单位速度曲线，其Frenet-Serret装置为在．由Smarandache曲线根据Frenet-Serret生成的直纹曲面分别如下: 根据曲线的Frenet-Serret框架，这些直纹曲面被称为TN-Smarandache直纹曲面、TB-Smarandache直纹曲面和NB-Smarandache直纹曲面，分别。

在本节之后，我们将研究给出Smarandache规则曲面的充要条件定理(10))是可发展的和最小的。此外，我们还为每个Smarandache规则表面提供了一个示例。

定理10。方程的TN-Smarandache划面(10)是可发展的当且仅当是平面曲线。

定理11。方程的TN-Smarandache划面(10)是最小的当且仅当曲线的曲率和扭转满足方程．

证明。微分方程的第一行(10)关于而且，分别得到这两个向量的叉乘给出了TN上的法向量-方程的Smarandache直纹面(10)：在规则条件下，单位法线的形式为公式(13)，我们得到了TN的第一个基本形式的分量-方程的Smarandache直纹面(10)，在指定地点举行，详情如下: 微分方程(13)关于而且，分别得到因此，由方程(16)及(20.)，我们得到TN的第二个基本形式的分量-方程的Smarandache直纹面(10)，在指定地点举行，详情如下: 从方程式(17)及(23)，我们得到了TN的高斯曲率和平均曲率-方程的Smarandache直纹面(10)，在指定地点举行，详情如下: 这回答了上面的两个定理。

示例12。让我们考虑正平面曲线．TN-Smarandache根据曲线的Frenet-Serret框架对曲面进行划边是由它是可发展的，但在规则点上不是最小的。数字1方程(27)为．

定理13。方程的TB-Smarandache直纹面(10)是可发展的。

定理14。方程的TB-Smarandache直纹面(10)最小当且仅当曲线是一个一般的螺旋。

证明。微分方程的第二行(10)关于而且，分别得到这意味着TB上的法向量-方程的Smarandache直纹面(10)是在正则条件下，单位法线为公式(28)，我们得到TB的第一个基本形式的组成部分-方程的Smarandache直纹面(10)，定期举行: 微分方程(28)关于而且，分别得到因此，由方程(31)及(35)，我们得到结核的第二种基本形式的成分-方程的Smarandache直纹面(10)在固定地点: 从方程式(32)及(38)，我们得到了TB的高斯曲率和平均曲率-方程的Smarandache直纹面(10)，在指定地点举行，详情如下: 这回答了上面的两个定理。

推论15。如果为一般螺旋，方程的TB-Smarandache直纹面(10)是可发展且最小的。

示例16。这里，我们选择规则曲线作为一个一般的螺旋。然后，TB-Smarandache根据的Frenet-Serret框架对曲面进行划边是它是可发展的，在它的规则点最小。数字2方程(42)为．

定理17。方程的NB-Smarandache直纹面(10)是可发展的当且仅当是平面曲线。

定理18。方程的NB-Smarandache直纹面(10)是最小的当且仅当曲线的曲率和扭转满足方程

证明。微分方程第三行(10)关于而且，分别得到通过这两个向量的叉乘，我们得到NB上的法向量-方程的Smarandache直纹面(10)：在规则条件下，单位法线的形式为公式(44)，得到NB的第一基本形式的分量-方程的Smarandache直纹面(10)，在指定地点举行，详情如下: 微分方程(44)关于而且，分别得到因此，由方程(47)及(51)，得到NB的第二基本形式的分量-方程的Smarandache直纹面(10)，在指定地点举行，详情如下: 从方程式(48)及(54)，得到NB的高斯曲率和平均曲率-方程的Smarandache直纹面(10)，在指定地点举行，详情如下: 这回答了上面的两个定理。

推论19。如果NB-Smarandache对方程(10)是可发展的，它是最小的。

20例。让我们考虑平面曲线．因此，NB-Smarandache根据的Frenet-Serret框架对曲面进行了划边参数化的它是可发展的和最小的。数字3.方程(58) ．

4.结论

本工作的主要成果保证如下:(我)根据Frenet-Serret框架得到的TN-Smarandache直纹曲面是可展的。，最小值)如果为平面曲线(响应，而且，满足特殊方程)(2)根据Frenet-Serret框架的NB-Smarandache直纹面是可展开的。，最小值)如果为平面曲线(响应，而且，满足特殊方程)(3)所研究的定理证明了根据Frenet-Serret框架引入的Smarandache直纹曲面的可展性和最小性条件与参考曲线的微分性质有关。因此，我们可以很容易地说，要根据Frenet-Serret框架构造一个可展开的Smarandache直纹曲面或一个最小的Smarandache直纹曲面，我们只需要对参考曲线做出正确的选择

数据可用性

该研究没有数据支持。

利益冲突

作者声明不存在利益冲突。

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