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何聪,陈景春, "Besov空间上的等价刻画",摘要及应用分析, 卷。2021, 文章的ID6688250, 4 页面, 2021. https://doi.org/10.1155/2021/6688250
Besov空间上的等价刻画
摘要
本文给出了贝索夫空间的一个等价刻画。这揭示了混合导数范数与单变量范数之间的等价关系。应用傅里叶乘子、实数插值和Littlewood-Paley分解。
1.简介
在索博列夫空间中,已知 在哪里 注意在定义的右边 ,它包含混合导数范数 这种混合导数范数将使估计具有某些各向异性性质的偏微分方程(如Vlasov-Poisson方程[)的计算更加复杂,甚至不可行。1,2],在分数Sobolev空间[3.].因此,分离变量变得必要和有意义。
在本文中,我们的目的是证明 它实现了分离,即,右边不包含“混合导数”项,它只包含每一项对单个变量的分数阶导数。因此,当涉及到估算时在求解偏微分方程时,等价于估计单独。有关贝索夫空间的其他等价刻画,请参阅[4- - - - - -7]和其中的参考文献。
2.预赛
我们首先回顾贝索夫空间的定义,参见[8].鉴于 也就是Schwartz函数的傅里叶变换 定义为 它的傅里叶反变换由
我们考虑 令人满意的 设置 与 ,我们可以调整前面的归一化常数并选择 令人满意的 这样
我们观察
鉴于 ,我们表示 为 ,然后定义非齐次贝索夫空间为 用通常的解释 或 在本文中,所有的函数空间都是在欧氏空间上定义的 ;如果没有混淆,我们将省略它。
接下来,我们将介绍一些已知的结果,这些结果将在以后使用。第一个是单元分解。
引理1(见[8,第145页)。假设 并采取就像贝索夫空间的定义一样。然后,存在函数 ,这样 接下来,我们回顾贝索夫空间的实插值刻画。
引理2(见[8,第142页)。假设 在哪里 我们有
备注3。我们还有 它的证明可以重复引理的过程2完全。
3.等价的描述
现在,我们要陈述并证明我们的定理了。首先,我们应用傅里叶乘子[9证明 直接;空间因素有一个优势都是正的,这在应用傅里叶乘子定理时是非常重要的。
为简洁起见,我们表示
我们在索博列夫空间中有以下等价范数定理。
定理4。假设 我们有 在哪里
证明。一方面,如果
,也就是说,
在哪里
注意,对于任何
,我们有
接下来,我们只需要证明这一点
是一个乘数。为了证明这个断言,我们引入一个辅助函数on定义为
验证这一点很容易0次的齐次光滑吗
衍生品都是齐次的
并满足
每当
而且的多指数
变量。特别地,拿
,我们获得
和设置
,我们推导出
,这意味着是一个傅里叶乘数除以Mihlin-H曼德定理[9(第446页)。
另一方面,假设
,也就是说,
注意,
类似地,我们可以验证
是一个傅里叶乘子完成了定理的证明4.
我们回过头来证明贝索夫空间上的等价刻画。然而,我们不能做同样的技巧空间自是不是到处都是正的呢 幸运的是,我们 ,看到引理2.这一观察结果有利于证明在一个方向上的等价关系;然而,对于另一个方向,我们需要一个更精细的技术,实际上,我们通过应用Littlewood-Paley分解[10,这在我们的证明中是非常重要的。接下来, 意味着存在一个常数独立于主要参数使 意味着 而且
定理5。假设 我们有 在哪里 而且二元块的单位分解为第th变量,如贝索夫空间的定义。
证明。我们将证明分为以下两步:
第一步,证明
假设
,用实插值引理2,我们有
在哪里
,我们对插值空间应用等效范数
,参见[8(3)第39页和(5)第40页)。
的评论3.,我们得到的,任何
结合(18)及(19),由此可见
的任意性暗示(17)持有。
第二步。为了证明
为
这是小事。
为
,我们需要以下关键索赔。
索赔。存在一个正整数根据只有这样 在哪里 哪个是二元块变量,是贝索夫空间定义中常见的二元块,和和引理一样吗1.
申索证明。由引理1,我们有
请注意
为了得到
,对于任何选择而且
,我们必须
这意味着
与
,结束对索赔的证明。考虑到这一点,我们得到
我们用了这个事实是傅里叶乘子。
杨氏不等式[11],带着两侧的规范(26)的结果是
这意味着(21)持有;这样,我们就完成了主定理的证明。
注6。该方法适用于加权Sobolev空间和加权Besov空间,甚至适用于各向异性函数空间。
数据可用性
本文中的数据可按要求提供。请与陈景春联系jingchun.chen@utoledo.edu.
利益冲突
作者宣称他们没有利益冲突。
参考文献
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