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体积 2021 |文章的ID 6688250 | https://doi.org/10.1155/2021/6688250

何聪,陈景春 Besov空间上的等价刻画",摘要及应用分析 卷。2021 文章的ID6688250 4 页面 2021 https://doi.org/10.1155/2021/6688250

Besov空间上的等价刻画

学术编辑器:弥迦书Osilike
收到了 10月8日2020
修改后的 11月22日
接受 2021年4月17日
发表 2021年4月26日

摘要

本文给出了贝索夫空间的一个等价刻画。这揭示了混合导数范数与单变量范数之间的等价关系。应用傅里叶乘子、实数插值和Littlewood-Paley分解。

1.简介

在索博列夫空间中,已知 在哪里 注意在定义的右边 它包含混合导数范数 这种混合导数范数将使估计具有某些各向异性性质的偏微分方程(如Vlasov-Poisson方程[)的计算更加复杂,甚至不可行。12],在分数Sobolev空间[3.].因此,分离变量变得必要和有意义。

在本文中,我们的目的是证明 它实现了分离,即,右边不包含“混合导数”项,它只包含每一项对单个变量的分数阶导数。因此,当涉及到估算时 在求解偏微分方程时,等价于估计 单独。有关贝索夫空间的其他等价刻画,请参阅[4- - - - - -7]和其中的参考文献。

2.预赛

我们首先回顾贝索夫空间的定义,参见[8].鉴于 也就是Schwartz函数的傅里叶变换 定义为 它的傅里叶反变换由

我们考虑 令人满意的 设置 我们可以调整前面的归一化常数 并选择 令人满意的 这样

我们观察

鉴于 我们表示 然后定义非齐次贝索夫空间为 用通常的解释 在本文中,所有的函数空间都是在欧氏空间上定义的 如果没有混淆,我们将省略它。

接下来,我们将介绍一些已知的结果,这些结果将在以后使用。第一个是单元分解。

引理1(见[8,第145页)。假设 并采取 就像贝索夫空间的定义一样。然后,存在函数 这样 接下来,我们回顾贝索夫空间的实插值刻画。

引理2(见[8,第142页)。假设 在哪里 我们有

备注3。我们还有 它的证明可以重复引理的过程2完全。

3.等价的描述

现在,我们要陈述并证明我们的定理了。首先,我们应用傅里叶乘子[9证明 直接; 空间因素有一个优势 都是正的,这在应用傅里叶乘子定理时是非常重要的。

为简洁起见,我们表示

我们在索博列夫空间中有以下等价范数定理。

定理4。假设 我们有 在哪里

证明。一方面,如果 也就是说, 在哪里 注意,对于任何 我们有 接下来,我们只需要证明这一点 是一个 乘数。为了证明这个断言,我们引入一个辅助函数on 定义为 验证这一点很容易 0次的齐次光滑吗 衍生品 都是齐次的 并满足 每当 而且 的多指数 变量。特别地,拿 我们获得 和设置 我们推导出 这意味着 是一个 傅里叶乘数除以Mihlin-H 曼德定理[9(第446页)。
另一方面,假设 也就是说, 注意, 类似地,我们可以验证 是一个 傅里叶乘子完成了定理的证明4

我们回过头来证明贝索夫空间上的等价刻画。然而,我们不能做同样的技巧 空间自 是不是到处都是正的呢 幸运的是,我们 看到引理2.这一观察结果有利于证明在一个方向上的等价关系;然而,对于另一个方向,我们需要一个更精细的技术,实际上,我们通过应用Littlewood-Paley分解[10,这在我们的证明中是非常重要的。接下来, 意味着存在一个常数 独立于主要参数使 意味着 而且

定理5。假设 我们有 在哪里 而且 二元块的单位分解为 第th变量,如贝索夫空间的定义。

证明。我们将证明分为以下两步:
第一步,证明 假设 用实插值引理2,我们有 在哪里 我们对插值空间应用等效范数 参见[8(3)第39页和(5)第40页)。
的评论3.,我们得到的,任何 结合(18)及(19),由此可见 的任意性 暗示(17)持有。
第二步。为了证明 这是小事。
我们需要以下关键索赔。

索赔。存在一个正整数 根据 只有这样 在哪里 哪个是二元块 变量, 是贝索夫空间定义中常见的二元块,和 和引理一样吗1

申索证明。由引理1,我们有
请注意 为了得到 对于任何选择 而且 我们必须 这意味着 结束对索赔的证明。考虑到这一点,我们得到 我们用了这个事实 是傅里叶乘子。
杨氏不等式[11],带着 两侧的规范(26)的结果是 这意味着(21)持有;这样,我们就完成了主定理的证明。

注6。该方法适用于加权Sobolev空间和加权Besov空间,甚至适用于各向异性函数空间。

数据可用性

本文中的数据可按要求提供。请与陈景春联系jingchun.chen@utoledo.edu

利益冲突

作者宣称他们没有利益冲突。

参考文献

  1. Y. Guo,“接近麦克斯韦方程组的弗拉索夫-泊松-玻尔兹曼系统”,纯粹数学与应用数学交流“,,第55卷,no。9, pp. 1104-1135, 2002。视图:出版商的网站|谷歌学者
  2. 何超,雷勇,“单物种Vlasov-Poisson-Landau系统的软势分析 ”,数学物理杂志,第57卷,no。12、2016年第121502条。视图:出版商的网站|谷歌学者
  3. S. Kim,“Neumann拉普拉斯算子和向量拉普拉斯算子的分数阶Sobolev空间”韩国数学会杂志,第57卷,no。3,第721-745页,2020年。视图:谷歌学者
  4. D. Drihem,“用差异刻画besov型和triebel - lizorkin型空间”功能空间与应用杂志, 2012年,第328908条,24页。视图:出版商的网站|谷歌学者
  5. G. Garrigós和A. Tabacco,“各向异性Besov空间的小波分解”,Mathematische后,卷239-240,no。1, pp. 80-102, 2002。视图:出版商的网站|谷歌学者
  6. h . Triebel函数空间理论3, Birkhäuser-Verlag巴塞尔,波士顿,柏林,2006年。
  7. D. Yang和W. Yuan,“基于球上平均值的Besov和Triebel-Lizorkin空间的点态刻画”,美国数学学会会刊,第369卷,no。11,页7631-7655,2017。视图:出版商的网站|谷歌学者
  8. J.伯格和J. Löfström,插值空间, Springer-Verlag,柏林海德堡,纽约,1976年。
  9. l . Grafakos经典傅里叶分析,斯普林格-海德堡多德雷赫特伦敦,纽约,2014。
  10. M. Cannone和Y. Meyer,“Littlewood-Paley分解和Navier-Stokes方程”分析方法与应用,第2卷,no。3,第307-319页,1995。视图:出版商的网站|谷歌学者
  11. E. Tolsted,“柯西不等式,Hölder和闵可夫斯基不等式的一个基本推导,从杨氏不等式,”数学杂志,第37卷,no。1, pp. 2-12, 1964。视图:出版商的网站|谷歌学者

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