Paracontact规 -满足苗潭方程的流形

摘要

本文对副接触度规进行了分类 -满足苗潭临界方程的流形 ．我们证明了它是平面积的局部等距 -维度流形和 -负常曲率的维度流形 ．

1.简介

受正质量定理和闭流形上爱因斯坦度量的变分表征的启发，为了找到一个介于常数标量曲率度量和爱因斯坦度量之间的度量的正确概念，在[1]， Miao和Tam研究了具有规定边界度量的常标量曲率度量空间上的体积泛函的变分性质。具体地说，他们推导出了一个度规是临界点的充要条件:

定理1([中的定理51])。让做一个紧凑的人-光滑边界的维黎曼流形 ， 是给定的度规 ，和成为度量的空间它们有常数标量曲率并且有诱导度规给出的 ．让 的第一个狄利克雷特征值是光滑度规 是正的。然后,体积的临界点是函数吗当且仅当有一个光滑函数在这样 在和 在哪里和拉普拉斯算符和黑森算符是什么 ，和里克( ）的里奇曲率是多少 ．

为方便起见，我们称这种临界度规为妙谭临界度规，并参考公式(1)即苗潭方程。妙谭临界度规的一个基本性质是，它的标量曲率是一个常数(见[1])。妙谭关键指标的一些明确例子可以在[1，2]，不仅包括空间形式的测地线球上的标准度量，还包括空间史瓦西度量和ads -史瓦西度量，这些度量限定在包含它们的视界并以两个球对称球为界的特定域内。在[2]，作者对所有爱因斯坦和保形平坦妙谭临界指标进行了分类。事实上，他们证明了任何具有光滑边界满足缪氏临界条件的连通、紧凑的爱因斯坦流形都是与简连通空间形式中的测地线球等距的。然后，不同的作者发现了这一刚性结果的几个推广，用一个更弱的条件，如谐威尔张量[3.，平行里奇张量[4或循环平行里奇张量[5］．对于一些其他的泛化或刚性结果，我们可以参考[6- - - - - -10)等。

近年来，一些几何学者开始在接触度规流形的框架下对缪氏-谭方程进行研究。在[11，作者证明了一个完整的 -满足苗潭临界条件的接触度规是单位球的等距 ．此外，他们还研究了 -满足苗氏方程的接触度量。此外，研究了Kenmotsu和几乎Kenmotsu流形框架内的Miao-Tam方程。12]，并且证明了一个满足缪氏方程的Kenmotsu度规就是爱因斯坦。此外，在[13，作者研究了上的临界点方程 -paracontact导管;特别是，他们证明了 -满足缪塔方程的旁接触流形一定是爱因斯坦的。我们还注意到一些几何结构，如里奇孤子，在副接触度规的框架内进行了研究 -歧管(见[14])。在这个方向上，研究副接触度规是很自然的 -满足苗潭方程的流形。在本文中，我们将证明以下主要结果:

定理2。让 成为一个傍接触度规 -多维度流形 与 ．如果 是Miao-Tam方程的非常数解，那么局部尺寸是平的吗 ，在更高的维度中 ，它与平面的乘积在局部是等距的 -维度流形和 -负常曲率的维度流形等于 ．

2.预赛

在这一节中，我们回顾一下将在以后使用的副接触度量流形的一些基本定义和事实。有关更多细节和一些例子，我们参考[15- - - - - -26］．

一个 -尺寸光滑流形据说有一个几乎是副接触式结构 ，如果它承认 -张量场 ，向量场 ，和1号表格符合下列条件:(我) ， (2)张量场在每根纤维上诱导出一种几乎副复杂的结构 ，也就是特征分布和的对应于特征值1和 ，分别具有相同的尺寸

从定义中，很容易看出 ， ，还有自同态有排名 ．一种几乎是旁接触的结构被认为是正常的当且仅当张量场 消失是一样的。如果一个几乎旁接触流形允许一个伪黎曼度规这样 对所有 ，然后我们说几乎是近接触的度规结构，并且称为兼容度规。由此可见 和 ．请注意，任何这样的伪黎曼度规都必须具有特征 ．

如果是附加的 对于所有向量场 在 ，然后是流形 据说是一个副接触度量流形．在这种情况下，成为一种联系形式，即， ，与它的Reeb向量场。在傍接触度量流形中，定义了两个自伴随算子和通过 和 ，在哪里谎言的导数是什么 ，和的曲率张量是多少 ．它被称为[25两个操作员和满足

这也是成立的 在哪里伪黎曼流形的列维-奇维塔连接是什么 ．此外, 当且仅当是杀伤向量场，在这种情况下，是傍接触度规流形据说是一个-paracontact廖．一个正常的旁接触度规流形被称为paraSasakian廖．

傍接触几何的零条件研究是傍接触几何中最有趣的课题。受接触度规和副接触几何之间关系的激励，[18),。Cappelletti Montano等人介绍了以下内容。

定义3。准接触度量流形 是一个傍接触度规 -如果它是曲率张量满足 对于所有切向量场 在 ，在哪里 都是实常数。

在准接触度规上 -廖 ，以下公式是有效的[18]: 在哪里里奇算符是否与里奇张量相关 ．

Paracontact规 -空格满足(7)，但这个条件对的值没有任何类型的限制 ，与接触度规几何不同的是，因为副接触度规流形的度规不是正定的。然而，副接触度规的几何行为 -歧管是不同的 和 ．特别是这个案例 和 ， -无效条件(7)完全决定了整个曲率张量场。这个案子 等于 但不是 ，哪一点和接触不同 -空间。确实，有一些副接触度规的例子 -空间与 但 ，如在[18，27，28］．在本文中，我们考虑了傍接触度规 -与条件流形 ．

3.定理的证明2

在给出定理证明之前2，我们将介绍一些重要的引理，这些引理将在后面使用。首先，我们回顾一下关于旁接触度规的一个基本事实必威2490 -多方面的。

引理4(推论4.14在[18])。在任何 -维度旁接触度规 -廖 这样 ，里奇算子的由 对于任何向量场 ．特别是, 是 -爱因斯坦当且仅当 ，爱因斯坦当且仅当 和 (在这种情况下，流形是Ricci-flat的)。的标量曲率是 ．

在下面，我们考虑傍接触度规 -满足苗潭方程的流形。

引理5。让 是Miao-Tam方程的一个非常数解 -维半黎曼流形标量曲率 ．然后，曲率张量可以表示为 对于任何向量场 在 ，在哪里 ．

证明。跟踪(1)，我们得到

然后，妙谭方程(1)可以作为 对于任何向量场在 ，在哪里 ．取(的协变导数12)沿着任意向量场在 ，我们获得

类似地，我们有 对于任何向量场 在 ．比较前两个方程，用(12)在众所周知的曲率张量的表达式中 ，我们得到了结果。

引理6。让 成为一个傍接触度规 -多维度流形 与 ，和 是Miao-Tam方程的一个非常数解 ．然后，我们有

证明。首先，求(的协变导数8)沿任意向量场 和使用(4)，我们可以得到

取(的内积)10),和使用(8)及(16)，我们有 在哪里 (注意到的维度是 ）.

它由(6), ．然后,取代通过和通过在(17)，分别得

自是不恒定的 ，这很容易看出来

替换通过在(9)，我们有

然后，行动在(20.)给 这里我们使用了(7）.

操作(9) ，我们有

替换通过在(22)和使用(7)，我们得到

代入方程式(20.) - (23)变成(19)的收益率 这就完成了引理的证明6．

接下来，我们将给出定理的完整证明2．

证明。首先,采取 在(17)给

把 在(6)，与上式比较，可得

注意标量曲率是一个常数吗 那

那么，我们可以从(26)及(27),

一方面，索取 在(6),因为 ，由此可见 这给了

用(7)及(30.)在(5)，我们得到

另一方面，我们从(12)及(8),

接下来，求(的协变导数28)并利用(31)及(32)，我们有

对这个方程的运算是显示

通过…的行动在(34)，它从(7),

因为我们假设 ，我们将其分为两种情况:

案例(i): ；例(2):

如果情况(i)发生，则由引理得出6那 ．因此，有了傍接触度规的定义 -流形给出了这个 对于任何向量场 ， ．由[的定理3.326]，局部尺寸是平的吗 ，在更高的维度( )，它与平面的乘积在局部是等距的 -维度流形和 -负常曲率的维度流形 ．

如果情况(ii)发生，则 ，也就是说, ．沿着任意向量场微分连同(4)意味着

它由(12), ，从前面的方程可以看出

替换通过 ， 通过 ，注意到对于任何副接触度规流形都是非零的，它是这样的吗 ．因此, ， ，是一个常数，这就产生了矛盾。

这就完成了定理的证明2．

数据可用性

没有数据用于支持这项研究。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

第一作者获国家自然科学基金(No. 11801011)和河南省高等学校重点科研项目(No. 19B110001)资助。

参考文献

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