二维Cattaneo模型的Lie对称变换精确解

摘要

本文利用对称技术，得到了Cattaneo方程的新的精确解。确定了无穷小对称性、这些对称性的线性组合以及相应的相似变量，从而得到了所考虑方程的许多精确解。通过相似变换，将上述偏微分方程化简为二阶常微分方程。这些常微分方程的解得到了Cattaneo方程的许多精确解。

1.简介

在扩散现象中，根据传统的菲克定律和傅里叶定律考虑，在较远的距离上受到扰动的点经过的瞬间，扰动的传播速度就显得无限大。然而，这个属性是非物理的。为了解决这个问题，Cattaneo提出了一个模型[1]，他通过提出一个松弛参数来修正本构方程，该松弛参数起着松弛时间的作用，其中这个松弛参数很小，取决于材料的热力学性质。在数学方面，Cattaneo模型将传统的扩散方程转化为双曲方程，传播速度有限，改善了传播速度无穷大的特性。相反，由于Cattaneo模型的双曲性质，它可以具有振荡解和负值。

从物理角度，Cattaneo模型描述了一种热浪的物理现象。虽然这种现象只能在特殊状态下观察到[2]，环境或材料，它仍然逐渐被社会所接受。它不仅可以用来描述某些纯非金属晶体中的热脉冲传播[3.也包括超声波在某些稀释气体中的传播。Straughan [4用Cattaneo-Christov模型在不可压缩牛顿流体的水平层中考虑热对流。哈达德(5)运用Cattaneo-Christov理论研究了Brinkman多孔介质。Cattaneo模型多用于结晶固体[6- - - - - -8]，扩展不可逆热力学和宇宙学模型。

由于分数阶微分方程的诸多优点，许多学者引入了大量的解析和数值方法来研究各种分数阶模型。由于Cattaneo模型在物理学和理论分析中有着广泛的应用，因此许多研究者致力于Cattaneo模型的求解和推广。孔普特和麦兹勒[9]从连续时间随机游走、延迟通量-力关系和非局部输运理论三个方面推广了Cattaneo模型。费利罗等人[10]比较了Cattaneo模型和分数型Cattaneo模型，并研究了Cattaneo方程解的渐近行为。苏等。[11]比较了相滞后热输运方程的解与经典Cattaneo方程的解。

有许多著名的方法可以得到偏微分方程的精确解[12- - - - - -15]，但其中一个是强大的李群方法。利用李群分析，还可以求出偏微分方程的相似解。这些相似解可以得到偏微分方程的精确解。许多研究人员使用这种方法来寻找偏微分方程的解，例如，参见[16- - - - - -20.］．在本文中，通过相似变换得到了Cattaneo方程的精确解。

本文共分为四个部分，内容如下2给出了Cattaneo方程的Lie对称产生子。节3.，通过考虑对称生成器的不同线性组合得到的相似变量，将所考虑的方程转化为一些ode，而在节中4，即在节中获得的解的图形表示形式3.提出了。最后，在Section中5，对目前的工作进行了总结。

2.Cattaneo方程的Lie对称性

本文的主要目的是研究以下Cattaneo模型的精确解[21), 利用其对称性分析。在上述模型中，C是松弛参数，和D是扩散系数。

获得偏微分方程的李对称性的方法已在许多书中讨论过，例如，参见[22- - - - - -25］．让 是产生方程对称群的向量场(1)．的二阶展开式X计算(1)，可得以下决定方程:

通过求解上述方程组得到的无穷小为

因此，Cattaneo方程(1)，由以下向量域张成: 形成一个七维李代数。

3.考虑相似变换的Cattaneo模型的精确解

在本节中，Cattaneo方程(1)通过考虑节中已得到的李对称发生器的不同线性组合2提出了。(1）对应的相似度变量 是 因变量μ给出(7表示(的解)1)在表格内 现在，我们考虑给定的自变量(7一个接一个地寻求……的解决办法。1)．首先，如果我们考虑以下相似度变量， 则方程(1)简化为以下线性ODE: 有了解决方案 现在，通过考虑相似度变量 方程(1)转换为以下ODE: 有了解决方案 由于(的两个解)1)给出(11)及(14)是线性无关的， 也就是说, 把价值放在而且γ在上面的方程中，我们得到 的解是(1)．（2）对应的相似度变量 是 因变量μ给出(19表示(的解)1)在表格内 同样，我们考虑(中给定的独立变量)19)寻求解决(1)．因此，通过使用 而且 ，方程(1)转换为ODE 有了解决方案 通过考虑 方程(1)转换为以下ODE: 有了解决方案 结合(22)及(25)，我们明白了 也就是说, 的解是(1)．（3）对应的相似度变量 是 因变量μ给出(29表示(的解)1)在表格内 通过考虑 方程(1)转换为以下ODE: 有了解决方案 因此, 也就是说, 的解是(1)．这里，我们忽略了相似度变量 因为对应于这些变量，方程(1)不会转换为ODE。（4）对应的相似度变量 是 通过考虑 而且 ，方程(1)转换为ODE 有了解决方案 现在，通过考虑 方程(1)转换为以下ODE: 有了解决方案 在哪里 而且 分别为第一类和第二类修正贝塞尔函数。结合(39)及(42)，我们有 也就是说, 的解是(1)．

4.得到的解的曲面图

在本节中，给出了在前一节中计算的Cattaneo模型精确解的曲面图。数据1- - - - - -4显示所考虑模型的精确解的曲面图，其解载于方程(17)， (27)， (35)，及(44),分别。

5.总结与结论

本文将李对称性方法应用于Cattaneo方程，得到了它的精确解。在获得相似度变量时，式(1)会还原为一些二阶ode。最后，作者得到了包括贝塞尔函数在内的经过ode的一些解，从而得到了所考虑方程的许多精确解。给出了解的曲面图，以显示所考虑模型的不同行为。本文对李群方法进行了一个有趣的应用，通过考虑其不同的李对称生成器，将具有三个自变量的偏微分方程直接转换为ODE。

缩写

μ：	相似因变量，是两个自变量的函数
：	相似度自变量
γ：	相似度自变量
C1，C2，C3.，C4，C5：	积分常数
我而且K：	我而且K用方程式表示(42)及(44)分别为第一类和第二类修正贝塞尔函数。

数据可用性

本研究没有数据支持。

利益冲突

作者宣称他们没有利益冲突。

参考文献

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