拓扑空间中中间值定理的反求

摘要

在Hausdorff拓扑空间中，任何有值的连续函数都具有闭图，并满足中间值的性质。然而，总的来说，相反的含义是错误的。在这篇文章中，我们处理函数的附加条件，以及它的图，使相反的情况成立。

1.简介

本工作的动机来源于中间值定理(IVT)和闭图定理[1］．我们讨论了在[2]，表明在某些附加假设下，IVT的反向可能是正确的。

已知Hausdorff空间中的连续函数满足以下条件:(1）中间值属性(IVP)。（2）它的图是封闭的。（3）每个封闭集的逆像都是封闭的。

与前两个结果相反的结果通常是错误的。这意味着如果一个函数满足IVP或者它的图是闭合的，它就不一定是连续的。这项工作的目的是提供一些条件，在这些条件下，这种相反的情况是成立的。在这个意义上，我们在定理中证明2每一个从局部连通度量空间到具有序列闭图且满足IVP的局部序列紧空间的函数都是连续的。定理1是定理的推广2对于具有闭图的函数，从局部连通空间到局部紧空间。在定理1，我们对[中给出的结果在赋范空间中进行了推广2］．在定理6，我们证明了图的序贯闭合意味着球的逆像是序贯闭合的。

我们知道，图的接近性意味着巴拿赫空间之间线性映射的连续性[3.］．在推论中给出了同样的结果2对于函数，不一定是线性的，在满足IVP的赋范空间之间如果上域是有限维赋范空间。

从现在开始，让而且为Hausdorff拓扑空间和是一幅地图成 ．的图形定义为

定义1。让是一个Hausdorff拓扑空间。(1）这个函数的每一个连通子集的图像满足中间值性质(IVP)，则连接在 ．（2）一个子集的如果它包含每个收敛数列的极限，它就是序列闭合的在 ．（3）一个子集的是序列紧的，如果每个序列允许有一个限制点 ．（4）的空间是局部序列紧的，如果每 承认一个顺序紧凑的社区的基础。（5）的空间被称为本地连接，如果每 承认一个连接的社区的基础。

备注1。每一个局部序紧空间的序闭子空间都是局部序紧的。

在[1，我们得到以下经典结果。

命题1。如果是连续的，则其图是闭的，满足IVP。

定理1。让是拓扑空间中的一个连通子集 ．对于每个子集的这样 而且 ，我们有 ，在哪里 ．

现在，考虑下面的例子。

例1。(1）这个函数 满足IVP，但在0处不是连续的。（2）这个函数 有一个闭合图，但它在0处不是连续的。（3）根据达布定理[4(断言一个可微函数在实线上的导数满足IVP)，任何不在实线上的实函数的导数在实线上满足IVP，但它不是连续的。（4）利用基13中的实数展开，[5]给出了满足IVP的函数的构造，这些函数不是连续的。（5）让是不可数的集合和是实场还是复场。集 与 而且 然后,是空间的线性子空间吗的有界序列 ．定义一个对偶性结束对所有 而且 通过 的集 在哪里是的有限子集吗而且 ，形成线性拓扑的零邻域的一组基称为弱拓扑关于二元性而且用 ．
的集 在哪里的弱拓扑中的凸平衡紧子集是而且 形成线性拓扑的零邻域的一组基叫做麦基拓扑关于二元性而且用 ．
Mackey拓扑打开拓扑对偶是线性映射空间的拓扑是否最强 让提供Mackey拓扑 而且是可合计家庭的巴拿赫空间 ．的规范注入成是一个具有非连续闭图的映射。有关详细信息，请参见[6］．

在接下来的研究中，我们研究了使IVT的反向成立的条件。

定理2。假设 是局部连通的度量空间和吗是局部顺序紧凑的。如果满足IVP且其图是序闭的，则是连续的。

证明。假设不是连续的 ．自是否局部连通，是否存在连通邻域的这样 集 ；然后,是邻近 ．因此，存在一个连通的邻域的这样 ，我们构造一个递减序列的相邻社区的这样 另一方面，自从不是连续的而且是否存在一个序列紧凑的邻域的这样 然后, 自连接着所有人 ，由定理1，我们有 因此，对于所有人来说 ，存在 这样 ．的顺序紧凑性 ，这是一个子序列的它收敛于 ．因为序列是在然后收敛到 ，然后 而且 ，这是矛盾的，因为是一个 ．然后,是连续的 ．

备注2。根据前面的定理，(1）函数的图像不是一个封闭集。（2）这个函数 ，，不满足IVP。

定理3。让是一个局部连通的拓扑空间局部紧凑。如果满足IVP且其图是闭合的，则是连续的。

证明。假设不是连续的 ．自当地是否紧凑，是否有一个紧凑的社区的这样 为所有邻里服务的 ．通过局部的连接 ，这是一个广义序列的相邻社区的 ，邻里关系的基础是什么在 ．然后, 自满足IVP，连接着所有人 ．由定理1，存在一个广义序列这样 通过…的紧密性 ， 紧凑。然后，存在子序列这样收敛于 ．然后是广义序列收敛于 ．自关闭，那么 ．因此, 而且 ，这与是一个 ．因此,是连续的。

由于赋范空间是局部连通的，而有限维赋范空间是局部紧的，我们得到以下推论。

推论1。从赋范向量空间到有限维赋范向量空间满足IVP且具有闭图的每个函数都是连续的。

在[2，下面的定理给出了弱假设下IVT的相反结果。

定理4。让是区间上的实值函数的满足IVP。如果对所有人来说 是封闭的 ，然后是连续的。

命题2。让 成为一个函数;然后:(1）如果关门了，那么每 是封闭的 ．（2）如果是按顺序关闭的，那么对每个 是否按顺序闭合 ．（3）如果是连续的，那么对每 是封闭的 ．

证明。(1）让中的一个广义序列它收敛于 ． 是一个序列它收敛于 ．自关闭，那么 ．因此, ．因此,是封闭的 ．（2）用同样的方法，我们表示(2)。（3）的连续性意味着是封闭的，然后我们有(3)

备注3。(1）一般来说，1和2的倒数是假的。如例2所示，since是内射,是封闭的 ，但没有闭图。（2）定理2是定理的推论吗4和主张2．

下面的定理是对定理中实际情况的推广4．

定理5。假设赋范向量空间结束了吗或而且是局部连通的度量空间。如果满足IVP和中的每一个球的逆像是否按顺序闭合 ，然后是连续的。

证明。假设不是连续的 ．在定理的证明中2，有 一个序列在它收敛于 ，对所有人来说 ，在哪里 球和球面的半径是一样的吗 ，分别。因此,是在它是关闭的。然后, 而且 ：一个矛盾。因此,是连续的。

定理6。假设是一个有限维赋范向量空间。如果是连续闭合的，那么每个球面的逆像是否按顺序闭合 ．

证明。让 做圆心球和半径 ．让按顺序排列它收敛于 ．我们来证明一下 ．我们知道这个序列是在 ．自那么有限维赋范空间呢紧凑。因此，存在子序列的它收敛于 ．因为这个图的是否按顺序关闭和是一个序列它收敛于 ，然后 在而且 ．因此, 而且 ．因此,是否按顺序闭合 ．

定理7。假设是一个有限维赋范空间。如果是封闭的，那么每个球面的逆像是封闭的 ．

证明。让 做圆心球和半径 ．让处于封闭状态 ；然后，存在一个广义序列在它收敛于 ．然后是序列是在这是紧凑的。因此，存在子序列它收敛于 ．这个图的是关闭的是在 ；然后, ．因此, 而且 ．因此,是封闭的 ．

推论2。假设有限维赋范空间结束了吗或而且是局部连通的度量空间。如果满足IVP且其图是序闭的，则是连续的。

数据可用性

用于支持这项研究结果的数据由于属于机密，所以尚未公开。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

参考文献

1. n .布尔巴基数学要素:一般拓扑学，施普林格，德国柏林，1995年。
2. w·鲁丁数学分析原理美国纽约，麦克劳-希尔，1964年。
3. l·施瓦兹分析:拓扑Génerale和分析功能赫尔曼，法国巴黎，1970年。
4. L.奥尔森，《达布定理的新证明》美国数学月刊第111卷第1期。8，第713-715页，2004。视图:出版商的网站|谷歌学者
5. G.阿曼，《中间值定理的反面:从康威到康托到余集等等》密苏里数学科学杂志第26卷第4期。2, pp. 134-150, 2014。视图:出版商的网站|谷歌学者
6. 马奎娜，《闭图定理的注释》数学档案馆第28卷第1期。1, 1977。视图:出版商的网站|谷歌学者

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